РАЗВЁРТКА МНОГОГРАННИКА

Развёртка многогранной поверхности это плоская фигура, составленная из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.

Существуют три способа построения развертки многогранных поверхностей:

1. Способ нормального сечения
2. Способ раскатки
3. Способ треугольников (триангуляции)

Первые два применяются для построения развертки призматических поверхностей, третий – для пирамидальных поверхностей.

Рассмотрим каждый их этих способов.

Задача: построить развертку наклонной трехгранной призмы ABCDEF

Решение:

1. Пересечем призму ABCDEF плоскостью γ, перпендикулярной к боковым ребрам призмы.
2. Построим сечение заданной призмы этой плоскостью – Δ123.
3. Определим длины сторон Δ123.
4. В свободном месте чертежа проведем прямую а (прямая а проведена горизонтально).
5. От произвольной точки 10, взятой на этой прямой, отложим отрезки [1₀2₀], [2₀3₀], [3₀1₀], конгруентные сторонам Δ123.
6. Через точки 1₀, 2₀, 3₀, 1₀ проведем прямые, перпендикулярные к прямой а, и отложим на них от точек 1₀, 2₀, 3₀, 1₀ отрезки, конгруентные соответствующим длинам боковых ребер ([1A], [1D], [2В], [2E], …).
7. Полученные точки A₀B₀C₀A₀ и D₀E₀F₀D₀ соединяем прямыми.

Плоская фигура А₀B₀C₀A₀D₀F₀E₀D₀ представляет собой развертку боковой поверхности призмы.

Задача: построить развертку боковой поверхности наклонной трехгранной призмы ABCDEF

Решение:

1. Примем за плоскость развертки плоскость γ, проходящую через ребро AD, параллельную фронтальной плоскости проекции.
2. Совместим грань ADEB с плоскостью γ. Для этого мысленно разрежем боковую поверхность призмы по ребру AD, а затем осуществим поворот грани ADEB вокруг ребра AD (A′′D′′).
3. Для нахождения совмещенного с плоскостью γ положения ребра B₀E₀ из точки B′′ проводим луч, перпендикулярный к A′′D′′, и засекаем на нем дугой радиуса |A′B′|, проведенной из центра A′′, точку B₀.
4. Через B₀ проводим прямую B₀E₀, параллельную (A′′D′′).
5. Принимаем совмещенное положение ребра B₀E₀ за новую ось вращения и поворачиваем вокруг нее грань BEFC до совмещения с плоскостью γ.
6. Из точки C′′ проводим луч, перпендикулярный к совмещенному ребру B₀E₀, а из точи B₀ – дугу окружности радиусом, равным |B′C′|; пересечение дуги с лучом определит положение точки C₀.
7. Через C₀ проводим C₀F₀ параллельно B₀E₀.
8. Аналогично находим положение ребра A₀D₀. Соединив точки A′′B₀C₀A₀ и D′′E₀F₀D₀ прямыми, получим фигуру A′′B₀C₀A₀D₀F₀E₀D′′ – развертку боковой поверхности призмы.
9. Для получения полной развертки призмы достаточно к какому-либо из звеньев ломаной линии A′′B₀C₀A₀ и D′′E₀F₀D₀ пристроить треугольники основания A₀B₀C₀A₀ и D₀E₀F₀.

Задача: построить развертку боковой поверхности пирамиды SABC

Определение длин ребер пирамиды выполнено способом вращения вокруг оси i S и i ⊥ π1.

1. Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью γ плоскость γ | | π2 и γ ⊃ i.
2. После того как определены длины ребер |S′′A2|, |S′′B2|, |S′′C2|, приступаем к построению развертки.
3. Для этого через произвольную точку S0 проводим прямую а.
4. Откладываем на ней от точки S0 [S0A0] ≅ ≅ [S′′A2]. Из точки A0 проводим дугу радиусом r1 = |A′B′|, а из точки S0 – дугу радиусом R1 = |S′′B2|.

Пересечение дуг укажет положение вершины B0 ΔS0A0(ΔS0A0B0 ≅ ΔSAB – грани пирамиды). Аналогично находятся точки C0 и А0. Соединив точки A0B0C0A0, получим развертку боковой поверхности пирамиды SABC.