ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей.

Поэтому построение линии пересечения двух поверхностей α и β сводится к нахождению общих точек, принадлежащих как множеству точек, составляющему поверхность α, так и другому множеству точек, входящих в состав поверхности β.

Способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в следующем:

1. Пересекаем заданные поверхности третьей, вспомогательной поверхностью (метод вспомогательных секущих плоскостей) (вид и расположение вспомогательной секущей поверхности выбирают с таким расчетом, чтобы можно было легко определить линии пересечения этой поверхности с заданными).
2. Находим линии, по которым эта вспомогательная секущая поверхность пересекает каждую из данных поверхностей.
3. Отмечаем точку (точки), в которой пересекаются полученные линии пересечения. Построив отмеченные операции n раз, получим множество точек. Линия l, соединяющая эти точки, является искомой линией пересечения поверхностей. Используя геометрический язык, ход решения задачи можно представить в виде формализованного алгоритма, записанного в символической форме.

Алгоритм выглядит вот так:
l = (L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... ∪ Ln); [Lj = (γj ∩ α) ∩ (γj ∩ β)]

l — кривая, полученная пересечение плоскостей.
(L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... ∪ Ln) — множество точек.
Lj — общая точка пересечения двух кривых, полученных пересечением плоскости γ с поверхностями α и β.

Повторяя алгоритм, меняя положение секущей плоскости, мы будем получать множество точек, соединяя которые, мы получим кривую.

1. Вводим вспомогательную секущую поверхность.
2. Определяем линии пересечения этой вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей.
3. Находим точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения.
4. Соединяем эти точки плавной линией.

Если вы получаете неправильную геометрическую фигуру (эллипс и пр.), то вы реально соединяете полученные точки от руки.